Journal of Applied Mathematics and MechanicsJournal of Applied Mathematics and MechanicsПрикладная математика и механика0032-82353034-5758The Russian Academy of Sciences70039210.7868/S3034575825060091ArticlesСтатьиResearch ArticleMinimization of quadratic functionals ratio in eigenvalue problems for the Orr-Sommerfeld equationМинимизация отношений квадратичных функционалов в задачах на собственные значения для уравнения Орра-ЗоммерфельдаGeorgievskiiD. V.ГеоргиевскийД. В.georgiev@mech.math.msu.suLomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваIshlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of SciencesИнститут проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНMoscow Center for Fundamental and Applied MathematicsМосковский центр фундаментальной и прикладной математики15122025896VOL 89, NO6 (2025)ТОМ 89, №6 (2025)1011101808012026Copyright ©; 2025, Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2025, Российская академия наук2025Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://cardiosomatics.ru/0032-8235/article/view/700392

In eigenvalue problems for the Orr–Sommerfeld equation, in cases of no-slip conditions or the assignment of shear stress on one of the boundaries, upper estimates for the real parts of the eigenvalues responsible for stability are analytically obtained. To evaluate more accurate estimates than the known ones, it is necessary to minimize the ratios of certain combinations of quadratic functionals arising from the application of the integral relations method. The exact minima of the ratios are calculated and compared with the estimated minima obtained based on well-known Friedrichs inequalities.

В задачах на собственные значения для уравнения Орра–Зоммерфельда в случаях условий прилипания либо задания на одной из границ касательного напряжения аналитически строятся верхние оценки отвечающих за устойчивость действительных частей собственных значений. Для построения более точных, чем известные, указанных оценок требуется минимизировать отношения некоторых комбинаций квадратичных функционалов, возникающих в результате применения метода интегральных соотношений. Вычисляются точные минимумы отношений и проводится их сравнение с оценочными минимумами, полученными на основании известных неравенств Фридрихса.

quadratic functionalminimizationeigenvalueeigenfunctionOrr-Sommerfeld problemFriedrichs inequalitystability estimatesshear flowквадратичный функционалминимизациясобственное значениесобственная функциязадача Орра-Зоммерфельданеравенство Фридрихсаоценки устойчивостисдвиговое течениеРабота выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 24-21-20008).Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 24-21-20008).Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr — Sommerfeld equation. Pt. 1 // J. Fluid Mech. 1968. V. 33. № 3. P. 617–621. https://doi.org/10.1017/S0022112068001552Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr — Sommerfeld equation. Pt. 2 // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. № 4. P. 721–734. https://doi.org/10.1017/S0022112069001959Synge J.L. Hydrodynamical stability // Semicentenn. Publ. Amer. Math. Soc. 1938. V. 2. P. 227–269.Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. 194 с.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 592 с.Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.:Наука, 1968. 504 c.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.Yih C.-S. Note on eigenvalue bounds for the Orr –Sommerfeld equation. // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. No. 2. P. 273–278. https://doi.org/10.1017/S0022112069000164Georgescu A. Note on Joseph’s inequalities in stability theory // ZAMP. 1970. V. 21. P. 258–260. https://doi.org/10.1007/BF01590652Miklavčič M. Eigenvalues of the Orr– Sommerfeld equation in an unbounded domain // Arch. Rat. Mech.&Analysis. 1983. V. 83. P. 221–228. https://doi.org/10.1007/BF00251509Banerjee M.B., Shandil R.G., Gourla M.G. et al. Eigenvalue bounds for the Orr — Sommerfeld equation and their relevance to the existence of backward wave motion // Studies in Appl. Math. 1999. V. 103. № 1. P. 43–50. http://dx.doi.org/10.1111/1467-9590.00119Banerjee M.B., Shandil R.G., Chauhan S.S. et al. Eigenvalue bounds for the Orr — Sommerfeld equation and their relevance to the existence of backward wave motion. Pt. II // Studies in Appl. Math. 2000. V. 105. № 1. P. 31–34. http://dx.doi.org/10.1111/1467-9590.00140Puri P. Stability and eigenvalues bounds of the flow of a dipolar fluid between two parallel plates // Proc. Roy. Soc. A. 2005. V. 461. P. 1401–1421. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2004.1434Watanabe Y., Plum M., Nakao M.T. A computer-assisted instability proof for the Orr — Sommerfeld problem with Poiseuille flow // ZAMM. 2009. V. 89. № 1. P. 5–18. http://dx.doi.org/10.1002/zamm.200700158Ding S., Lin Z. Stability for two-dimensional plane Couette flow to the incompressible Navier–Stokes equations with Navier boundary conditions // Commun. Math. Sci. 2020. V. 18. № 5. P. 1233–1258. https://doi.org/10.48550/arXiv.1710.04855Bras e Silva P., Carvalho J. Stability and eigenvalue bounds for micropolar shear flows // ZAMM. 2024. V. 104. № 12. P. 1–10. https://doi.org/10.48550/arXiv.2409.11584Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 25. С. 3–89.Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. 2-ое изд. М.: URSS, 2020. 560 с.Георгиевский Д.В. Новые оценки устойчивости одномерных плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости // ПММ. 2010. Т. 74. № 4. С. 633–644.Георгиевский Д.В. Неравенства Фридрихса и усиленные достаточные условия устойчивости плоскопараллельных течений // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2022. №3. С. 46–50.