Норма смещения при возмущающем ускорении, меняющемся по закону обратных квадратов, в системе отсчета, связанной с радиусом-вектором

Рассмотрена задача движения точки нулевой массы под действием притяжения к центральному телу и малого возмущающего ускорения P′ = P/r ², где r — расстояние до притягивающего центра, компоненты вектора P полагаются постоянными в системе отсчета с осями, направленными по радиусу-вектору, трансверсали и вектору площадей. Ранее для данной задачи найдены уравнения движения в средних элементах и формулы перехода от оскулирующих элементов к средним в первом порядке малости; величинами второго порядка мы пренебрегаем. В данной работе получена евклидова (среднеквадратичная по средней аномалии) норма смещения ||dr||², где dr представляет разность векторов положения на оскулирующей и средней орбите. Оказалось, что ||dr||² зависит только от компонентов вектора P (положительно определенная квадратичная форма), большой полуоси (пропорционально второй степени) и эксцентриситета оскулирующего эллипса. Норма ||dr||² получена в виде рядов по степеням $\beta =e/\left(1+\sqrt{1-e^2}\right)$ и по степеням эксцентриситета e. Результаты применены к задаче о движении астероидов под действием возмущающего ускорения, обратно пропорционального квадрату гелиоцентрического расстояния, в частности, под влиянием эффекта Ярковского.