АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТЕРМИНАХ ЛОКАЛЬНЫХ НОРМ И ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Получены функциональные соотношения, которые позволяют оценивать точность приближенных решений в терминах мер, существенно отличных от энергетических норм, которые обычно используются для этих целей. В частности, они применимы к локальным нормам и мерам, построенным с помощью специально построенных линейных функционалов. Потребность в таких инструментах контроля точности возникает, если имеется особый интерес к поведению решения в некоторой подобласти или к специальным свойствам решения. Показано, что апостериорные оценки функционального типа, которые ранее использовались для глобальных оценок, могут быть адаптированы и для решения этой задачи. Получены функциональные тождества и оценки, позволяющие оценивать погрешность любых конформных аппроксимаций в терминах широкого класса мер, включающих локальные нормы и проблемно-ориентированные функционалы. Теоретические результаты проверены в серии примеров, которые подтверждают эффективность предлагаемого метода. Библ. 13. Фиг. 10. Табл. 10.

Об авторах

А. В. Музалевский

Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург, Россия

С. И. Репин

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН; Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Email: repin@pdmi.ras.ru
Санкт-Петербург, Россия; Санкт-Петербург, Россия

М. Е. Фролов

Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург, Россия

Список литературы

  1. Bangerth W., Rannacher R. Adaptive finite element methods for differential equations. Berlin: Birkhauser, 2003.
  2. Johnson C., Hansbo P. Adaptive finite elements in computational mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1992. V. 101. P. 143–181.
  3. Johnson C., Szepessy A. Adaptive finite element methods for conservation laws based on a posteriori error estimates // Commun. Pure and Appl. Math. 1995. V. XLVIII. P. 199–234.
  4. Mommer M.S., Stevenson R. A goal-oriented adaptive finite element method with convergence rates // SIAM J. Numer. Anal. 2009. V. 47. № 2. P. 861—886.
  5. Stein E., Ruter M., Ohnimus S. Error-controlled adaptive goal-oriented modeling and finite element approximations in elasticity // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2007. V. 196. № 37—40. P. 3598—3613.
  6. Repin S. I. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comput. 2000. V. 69. № 230. P. 481–500.
  7. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2008.
  8. Репин С.И. Тождество для отклонений от точного решения задачи A u + ` = 0 и его следствия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 12. С. 22–45.
  9. Repin S., Sauter S. Accuracy of Mathematical Models. Dimension Reduction, Simplification, and Homogenization. EMS Tracts in Mathematics. Vol. 33. 2020.
  10. Репин С.И. Оценки отклонения от точных решений краевых задач в мерах более сильных, чем энергетическая норма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 5. С. 767–783
  11. Repin S.I. A posteriori estimates in local norms // J.Math. Sci. 2004. V. 124 № 3. P. 5026–5035.
  12. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of functions space // Quart. Appl. Math. 1947. V. 5. P. 241–269.
  13. Mikhlin S.G. Variational Methods in Mathematical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1964.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024