Том 61, № 5 (2025)

Рассматриваются различные качественные свойства дифференциальной системы, связанные с поведением её решений, начинающихся вблизи нулевого: устойчивость и асимптотическая устойчивость, полные колеблемость, блуждаемость и вращаемость, а также полные отрицания каждого из этих свойств. Изучаются логические связи их радиальных и общерадиальных разновидностей как друг с другом, так и с соответствующими полными свойствами, а также с мерами этих свойств.

Рассмотрена первая смешанная задача для волнового уравнения в цилиндрической области в пространстве с нечётным количеством измерений. С помощью метода характеристик найдены явная формула классического решения данной задачи, а также условия согласования на исходные функции, гарантирующие достаточную гладкость решения во всей области.

Для управляемой нелинейной аффинной системы рассмотрена кусочно-линейная аппроксимация в виде переключаемой аффинной системы. Введено понятие состоятельности кусочно-линейной аппроксимации при замыкании системы регулятором переменной структуры. Состоятельность аппроксимации обеспечивает равенство графов дискретных состояний самой нелинейной системы и её кусочно-линейной аппроксимации. Получено достаточное условие состоятельности аппроксимации и предложен подход к численной проверке его выполнения.

Получены функциональные тождества, выполняющиеся для разности между заданной функцией и решением обобщённой задачи Стокса. Ограничения на вид этой функции минимальны и сводятся к требованию принадлежности к тому функциональному классу, который содержит решение задачи. Левые части тождеств представляют собой взвешенную сумму норм и характеризуют отклонения от точных полей скоростей и напряжений. Правые части включают в себя ряд слагаемых, некоторые из них вычисляются по данным задачи и известным приближённым решениям, а другие могут быть оценены. Показано, что в результате неизвестные слагаемые можно исключить и получить полностью вычисляемые двусторонние оценки расстояния до решения задачи. Такие тождества и вытекающие из них оценки можно использовать для оценки погрешности приближённых решений, найденных с помощью самых разных методов. Они верны как для соленоидальных аппроксимаций, так и для аппроксимаций, удовлетворяющих условию несжимаемости лишь с некоторой степенью точности. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что даёт возможность оценивать ошибки математических моделей, например, возникающих при изменении (упрощении) коэффициентов дифференциального уравнения или при замене условия несжимаемости более слабыми условиями.