Том 59, № 12 (2023)

Для нелинейного дифференциального матричного уравнения с помощью конструктивного метода регуляризации по линейной части уравнения с использованием соответствующих фундаментальных матриц исследована многоточечная краевая задача. По исходным данным задачи получены достаточные условия её однозначной разрешимости. Предложены итерационные алгоритмы построения решения, содержащие сравнительно простые вычислительные процедуры. Даны эффективные оценки, характеризующие скорость сходимости итерационной последовательности к решению, а также оценки области локализации решения.

Рассматривается решение задачи Коши в полосе на плоскости для однородной параболической системы второго порядка. Коэффициенты системы удовлетворяют двойному условию Дини. Начальная функция непрерывна и ограничена вместе со своими первой и второй производными. С помощью потенциала Пуассона исследуется характер гладкости этого решения и доказываются соответствующие оценки.

Рассмотрены начально-краевые задачи для однородных параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, с нулевыми начальными условиями в полуограниченной плоской области с негладкой боковой границей. Методом граничных интегральных уравнений доказана теорема об однозначной классической разрешимости таких задач в пространстве функций, непрерывных вместе со своей пространственной производной первого порядка в замыкании области. Дано интегральное представление полученных решений. Показано, что рассматриваемое в работе условие разрешимости поставленных задач эквивалентно известному условию дополнительности.

К нахождению решения задачи Коши для нагруженного уравнения Кортевега--де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций применён метод обратной спектральной задачи. Предложены простой алгоритм построения уравнения Кортевега--де Фриза высокого порядка с нагруженными членами и вывод аналога системы дифференциальных уравнений Дубровина. Показано, что сумма равномерно сходящегося функционального ряда, построенного с помощью решения системы уравнений Дубровина и формулы первого следа, действительно удовлетворяет нагруженному нелинейному уравнению Кортевега--де Фриза. Кроме того, доказано, что если начальная функция является действительной $\pi $-периодической аналитической функцией, то и решение задачи Коши тоже является действительной аналитической функцией по переменной $x,$ а также что если число ${\pi}/{n},$ $n\in\mathbb{N},$ $n\ge2,$ является периодом начальной функции, то число ${\pi}/{n}$ является периодом для решения задачи Коши по переменной $x.$

Исследуется задача оптимального выбора параметров модели относительно какого-либо функционала. Рассматриваются локально управляемые аффинные системы и интегральные функционалы, зависящие от программного управления. Доказывается локальная управляемость аффинных систем с неотрицательными входами в случае, когда столбцы при управлениях образуют положительный базис. Для таких систем вводится коэффициент локальной управляемости и ставится задача его максимизации в зависимости от выбора параметров модели. В качестве примера рассматривается очень упрощённая модель подводного аппарата и исследуется задача такого расположения его управляющих винтомоторных агрегатов, при котором энергопотребление аппарата минимально.

Изучается задача управления с обратной связью для одной математической модели, описывающей движение вязкоупругой жидкости с памятью вдоль траекторий движения поля скоростей. Доказывается существование оптимального управления, дающего минимум заданному ограниченному и полунепрерывному снизу функционалу качества.